函数f(x)=2x-x2-1( )

admin2016-02-27 16

问题函数f(x)=2^x-x²-1( )

选项 A、至多有两个零点。
B、只有三个零点。
C、没有零点。
D、有无穷多个零点。

答案B

解析显然f(0)=0，f(1)=0，此外f(4)=-1＜0,f(5)=6＞0，所以由零点定理，至少有一点x₀∈(4，5)，使得f(x₀)=0，即函数至少有三个零点。
以下证明函数只有这三个零点(反证法)：
假设函数f(x)有四个零点，设为x₁＜x₂＜x₃＜x₄，由罗尔定理有x₁＜ξ₁＜x₂＜ξ₂＜x₃＜ξ₃＜x₄，使得
f’(ξ₁)=f’(ξ₂)=f’(ξ₃)=0，
再用罗尔定理有ξ₁＜η₁＜ξ₂＜η₂＜ξ₃，使得
f”(η₁)=f”(η₂)=0，
再用罗尔定理有η₁＜ζ＜η₂，使得
f⁽³⁾(ζ)=0，
但f⁽³⁾(x)=2^x(1n2)³＞0恒成立，这与f⁽³⁾(ζ)=0矛盾，故函数只有三个零点。故选B。

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考研数学二

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