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  3. 若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证： (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))； (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′

admin2019-07-24  30
问题 若函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)＝f(1)＝0，f〞(χ)＜0，且f(χ)在[0，1]上的最大值为M．求证：
    (Ⅰ)f(χ)＞0(χ∈(0，1))；
    (Ⅱ)自然数n，存在唯一的χn∈(0，1)，使得f′(χn)＝．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理，[*]∈(0，1)，f′(a)a＝0．由f〞(χ)＜0(χ∈(0，1))[*]f′(χ)在(0，1)↘ [*] (Ⅱ)由题设知存在χM∈(0，1)使得f(χM)＝M＞0． 要证f′(χ)－[*](0，1)存在零点[*]在(0，1)存在零点．对n＝1，2，3，…引入辅助函数 Fn＝f(χ)－[*]χ， [*]Fn(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，要证F′n(χ)＝(χ)－[*]在[0，1)[*]零点，只需在[0，1]中找两点，Fn(χ)的函数值相等．Fn(0)＝f(0)＝0．再找Fn(χ)在(0，1)的一个零点． 因[*] [*]存在ξn∈(χM，1)使得Fn(ξn)＝0． 在[0，ξn][*][0，1]上对Fn(χ)用罗尔定理[*]存在χn∈(0，ξn)[*](0，1)，F′n(χn)＝0，即 f′(χn)＝[*]．
解析
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考研数学一

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