[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=[1,-1,1]T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

admin2021-01-25  41

问题 [2007年]  设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=[1,-1,1]T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵.
验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

选项

答案令f(x)=x5-4x3+1,则B=f(A)=A5-4A3+E.因A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,故B=f(A)的三个特征值分别为μ1=f(λ1)=f(1)=-2,μ2=f(λ2)=f(2)=1,μ3=f(λ3)=f(-2)=1.由Aα11α11,得到 A5α1=A41=A4α1=…=Aα11, A3α1=A21=A2α1=AAα1=Aα11, 故 Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α111-4α11=-2α1, 即B的属于特征值μ1=f(λ1)=f(1)=-2的一个特征向量为α1(与A的属于特征值λ1=1的特征向量α1相同),所以B的属于特征值μ1=一2的全部特征向量为k1α1,其中k1是不等于0的任意常数. 一般地,矩阵A的属于特征值λi的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λi)的特征向量相同,故为了求B的特征向量,只需求出A的特征向量. 设A的属于λ2的特征向量为α2=[x1,x2,x3]T,则因λ1≠λ2,故α2与α1正交,则有 [*] 由[*]即得A的属于λ2=1的特征向量α2=[1,1,0]T,α3=[-1,0,1 3T, 故B的属于特征值μ2=f(λ2)=f(2)=1的线性无关的特征向量为α2=[-1,1,0]T,α3=[-1,0,1]T,所以B的属于特征值μ2=1的全部特征向量为k2α2+k3α3,其中k2,k3是不全为0的任意常数.

解析
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