证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵.

admin2020-09-29  7

问题 证明与任意n阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵.

选项

答案设A=[*]与任意n阶方阵可交换,从而A与Eij(i,j=1,2,…,n)可交换,其中Eij表示第i行第j列的元素为1,而其余元素全为零的n阶方阵,则有: [*] 因为AEij=EijA,则有aii=ajj,ajk=0(k≠j,k=1,2,…,n),aki=0(k≠i,k=1,2,…,n),并且i,j=1,2,…,n.所以A=kE. 而对任意n阶方阵B,均有(kE)B=kB=kBE=B(kE),即kE可与任意n阶方阵交换.因此和任何n阶方阵可换的矩阵一定是数量矩阵.

解析
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