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  3. 设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )

设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )

admin2020-04-09  38
问题 设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是    (    )
选项 A、对任意的n维列向量ξ，有Aξ=0，则A=O．
B、对任意的n维列向量ξ，有ξTAξ=0，则A=O．
C、对任意的n阶矩阵B，有AB=O，则A=O．
D、对任意的n阶矩阵B，有BTAB=O，则A=O．
答案B
解析 法一  选项(A)对任意的n维列向量ξ，有Aξ=0．分别取ξ1=(1，0，…，0)T，ξ2=(0，1，…，0)T，…，ξn=(0，0，…，1)T代入，即得Aij=0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)．故A=O．选项(C)，(D)对任意的n阶矩阵B，有AB=O及BTAB=O．只要取B=E，即可得出A=0．故由排除法，应选B．
法二  对选项(B)，只要A是非零反对称矩阵，即AT=一A≠O时，则对任意的n维列向量ξ，因ξTAξ是数，故有ξTAξ=(ξTAξ)T=ξTATξ=一ξTAξ，则2ξTAξ=0，即ξTAξ=0，但A≠O．故选项(B)是错误的，应选B．
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考研数学三

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