设η1,η2,…,ηk是向量子空间V的一个规范正交基,α1,α2∈V,它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1,γ2.证明: (1)内积(α1,α2)=(γ1,γ2). (2)‖αi‖=‖γi‖,i=1,2.

admin2018-11-23  31

问题 设η1,η2,…,ηk是向量子空间V的一个规范正交基,α1,α2∈V,它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1,γ2.证明:
    (1)内积(α1,α2)=(γ1,γ2).
    (2)‖αi‖=‖γi‖,i=1,2.

选项

答案(1)设γi=(ci1,ci2…,cik)T,则αi=ci1η1+ci2η2+…+cikηk,i=1,2.于是 (α1,α2)=(c11η1+c12η2+…+c1kηk,c21η1+c22η2+…+c2kηk) =c11c21+c12c22+…+c1kc2k=(γ1,γ2). (2)当α1=α2时,用(1)得‖αi2=‖γi2,从而‖αi‖=‖γi‖= 1,2.

解析
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