2. 考研
  3. 设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0， 证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ=一1； (Ⅱ)若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ=一1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．

设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0， 证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ=一1； (Ⅱ)若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ=一1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．

admin2020-03-08  12
问题 设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，
证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ=一1；
(Ⅱ)若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ=一1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．
选项
答案本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法，是一道有难度的综合题． (I)由A2+A=0，得(A+E)A=0． 又A非零，从而方程组(A+E)x=0有非零解，于是|A+E|=0，即|一E一A|=0， 所以λ=一1是矩阵A的特征值． 同理可证λ=一1也是矩阵B的特征值． (Ⅱ)由ξ1是矩阵A属于λ=一1的特征向量，即λξ1=一ξ1． 等式两边左乘B，得BAξ1=一Bξ1．
解析
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考研数学一

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