设A,B均为n阶非零矩阵,且A2+A=0,B2+B=0, 证明:(Ⅰ)A,B有公共特征值λ=一1; (Ⅱ)若AB=BA=0,ξ1,ξ2分别是A,B属于特征值λ=一1的特征向量,则ξ1,ξ2线性无关.

admin2020-03-08  12

问题 设A,B均为n阶非零矩阵,且A2+A=0,B2+B=0,
证明:(Ⅰ)A,B有公共特征值λ=一1;
(Ⅱ)若AB=BA=0,ξ1,ξ2分别是A,B属于特征值λ=一1的特征向量,则ξ1,ξ2线性无关.

选项

答案本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法,是一道有难度的综合题. (I)由A2+A=0,得(A+E)A=0. 又A非零,从而方程组(A+E)x=0有非零解,于是|A+E|=0,即|一E一A|=0, 所以λ=一1是矩阵A的特征值. 同理可证λ=一1也是矩阵B的特征值. (Ⅱ)由ξ1是矩阵A属于λ=一1的特征向量,即λξ1=一ξ1. 等式两边左乘B,得BAξ1=一Bξ1

解析
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