2. 考研
  3. 设f(x)为连续函数，则下列结论正确的是( )．

设f(x)为连续函数，则下列结论正确的是( )．

admin2022-12-09  19
问题 设f(x)为连续函数，则下列结论正确的是(          )．
选项 A、1/x∫0x[f(-t)+f(t)]dt为奇函数
B、f(x)为奇函数，则∫0xf(t)dt为偶函数
C、若f(x)是以T＞0为周期的函数，则∫0xf(t)dt也是周期函数
D、若f(x)为偶函数，则∫axf(t)dt为奇函数
答案B
解析 因为f(t)+f(-t)为偶函数，所以∫0x[f(t)+f(-t)]dt为奇函数，
从而1/x∫0x[f(-t)+f(t)]出为偶函数，(A)不对；
设f(-t)-f(t)，F(x)=∫axf(t)dt，则
F(-x)=∫a-xf(t)dt∫-axf(-u)(-du)=∫-axf(u)du
=∫-aaf(u)du+∫axf(u)du=∫axf(u)du，
即F(x)为偶函数，(B)正确；
取f(x)=1-cosx，显然f(x)为周期函数且周期T＞0，但∫0xf(t)dt=x-sinx+C不是周期函数，(C)不对；
令f(x)=x2，则f(x)为偶函数，但∫1xf(t)dt=(1/3)x2-1/3不是奇函数，(D)不对．
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考研数学三

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