2. 考研
  3. 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。 证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。

函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式 f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。 证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。

admin2019-06-09  44
问题 函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式
f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。
证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。
选项
答案方法一：用积分证。 f(x)=f(0)+∫0xf’(t)dt=1－∫0x[*]dt。 而0≤∫0x[*]dt≤∫0xe－tdt=－e－t|0x=1－e－x， 两边同乘以(－1)，得： e－x－1≤－∫0x[*]dt≤0， 即e－t≤f(x)=1－∫0x[*]dt≤1。 方法二：用微分学方法证。 因f(0)=1，f’(x)＜0，即f(x)单调递减，所以当x≥0时f(x)≤1。 要证f(x)≥e－x，可转化为证明f(x)－e－x≥0，令φ(x)=f(x)－e－x，则 φ(0)=1－1=0，且φ’(x)=f’(x)+e－x≥f’(x)+[*]=0(x≥0)， 所以，当x≥0时φ(x)≥0，即f(x)≥e－x。 结合两个不等式，推知当x≥0时，e－x≤f(x)≤1。证毕。
解析
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考研数学二

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