2. 考研
  3. 设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)． (1)证明方程f2(x)＝1有唯一的正根xn； (2)求xn．

设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)． (1)证明方程f2(x)＝1有唯一的正根xn； (2)求xn．

admin2018-01-23  18
问题 设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn(n≥2)．
(1)证明方程f2(x)＝1有唯一的正根xn；
(2)求xn．
选项
答案(1)令φ1(x)＝fn(x)－1，因为φn(0)＝－1＜0，φn(1)＝n－1＞0，所以φn(x) 在(0，1)[*](0，＋∞)内有一个零点，即方程fn(x)＝1在(0，＋∞)内有一个根． 因为φ’n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，所以φn(x)在(0，＋∞)内单调增加，所以φn(x) 在(0，＋∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)＝1在(0，＋∞)内有唯一正根，记为xn． (2)由fn(xn)－fn＋1(xn＋1)＝0，得 (xn－xn＋1)＋(xn2－xn＋12)＋…＋(xnn－xn＋1n)＝xn＋1n＋1＞0，从而xn＞xn＋1，所以{xn}n＝1∞单调 减少，又xn＞0(n＝1，2，…)，故[*]xn＝A，显然A≤xn≤x1＝1，由xn＋ xn2＋…＋xnn得[*]＝1，两边求极限得[*]．
解析
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考研数学三

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