2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．

admin2016-05-17  52
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．
选项
答案 (Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2，λ2=－1，λ3=－1，｜A｜= 2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=－2，μ3=－2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，－1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量． 令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=－1，λ3=－1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2－x3=0，于是λ2=－1，λ3=－1对应的线性无关的特征向量为 [*]
解析
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考研数学二

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