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已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明: 存在两个不同的η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明: 存在两个不同的η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
admin
2019-03-06
39
问题
已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:
存在两个不同的η,ζ∈(0,1),使得f
’
(η)f
’
(ζ)=1.
选项
答案
由题设,函数f(x)在区间[0,ξ]上连续,在区间(0,ξ)内可导,于是由拉格朗日中值定理,存在η∈(0,ξ)[*](0,1),使得 f
’
(η)=[*]. 同样,由题设,函数f(x)在区间[ξ,1]上连续,在区间(ξ,1)内可导,于是由拉格朗日中值定理,存在ζ∈(ξ,1)[*](0,1),使得 f
’
(ζ)=[*]. 因为η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),于是存在两个不同的η,ζ∈(0,1),使得 f
’
(η)f
’
(ζ)=1.
解析
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高等数学一题库成考专升本分类
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高等数学一
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