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  3. 已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明： 存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明： 存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

admin2019-03-06  50
问题 已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：
存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．
选项
答案由题设，函数f(x)在区间[0，ξ]上连续，在区间(0，ξ)内可导，于是由拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)[*](0，1)，使得 f’(η)=[*]． 同样，由题设，函数f(x)在区间[ξ，1]上连续，在区间(ξ，1)内可导，于是由拉格朗日中值定理，存在ζ∈(ξ，1)[*](0，1)，使得 f’(ζ)=[*]． 因为η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，于是存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使得 f’(η)f’(ζ)=1．
解析
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