设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P—1AP=Λ。

admin2017-12-29  18

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1123,Aα2=2α23,Aα3=2α2+3α3
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P—1AP=Λ。

选项

答案(Ⅰ)由已知可得 A(α1,α2,α3)=(α123,2α23,2α2+3α3)=(α1,α2,α3)[*] 记P1=(α1,α2,α3), [*] 则有AP1=P1B。 由于α1,α2,α3线性无关,即矩阵P1可逆,所以P1—1AP1=B,因此矩阵A与B相似,则 [*]=(λ一1)2(λ一4), 矩阵B的特征值是1,1,4,故矩阵A的特征值为1,1,4。 (Ⅱ)由(E—B)x=0,得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β1=(一1,1,0)T,β2=(一2,0,1)T;由(4E—B)x=0,得对应于特征值λ=4的特征向量β3=(0,1,1)T。 令P2=(β1,β2,β3)=[*] P2—1P1—1AP1P2=[*] 即当P=P1P2=(α1,α2,α3)[*]=(一α12,一2α123)时,有 [*]

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/BNKRFFFM
0

最新回复(0)