设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b),使

admin2018-12-29  24

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a,b),使

选项

答案(1)若f(x)[*] 0,则结论显然成立; (2)设|f(x0)|=[*],x0∈(a,b),即函数f(x)在x=x0处取得最大值。又因为f(x)在[a,b]上二阶可导,则有f′(x0)=0。将函数f(x)在x=x0处展成带有拉格朗日余项的二阶泰勒展开式,即 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x—x0)+[*](x—x0)2,η=x0+θ(x—x0),0<θ<1。 由于f(a)=0,故将x=a代入上式可得 0=f(a)=f(x0)+f′(x0)(a—x0)+[*](a—x0)2, 即 [*],a<ξ1<x0。 同理,有 [*],x0<ξ2<b。 令[*],则 [*] 上式中[*],当且仅当x0=[*]时,等号成立。 故至少在一点ξ∈(a,b)使|f″(ξ)|≥[*]。

解析
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