将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0).

admin2016-11-03  31

问题 将函数f(x)=ln(x+)展成x的幂级数并求f(2n+1)(0).

选项

答案f′(x)=[*],利用展开式 (1+x)α=1+ax+[*]xn+… 得到 [*] 再在上式两边积分得到 [*] 级数的收敛区间为(一1,1).但当x=±1时,等式右边的级数为 [*] 为交错级数,满足莱布尼茨准则,是收敛的,故级数的收敛域为[一1,1],即 [*]① 其中x∈[一1,1]. 再求f(2n+1)(0).由于f(x)麦克劳林展开式为 [*] 另一方面,由式①得到 f(2n+1)(0)=0(n=0,1,2,…),f′(0)=1. [*] =(一1)n[*] 故 f2n+1(0)=(一1)n[1.3.5.….(2n一1)]2,n=1,2,3,….

解析 将函数f(x)在点x0处展成幂级数,若用直接展开法需求出f(n)(x0),这是比较困难的.若用间接展开法,可避开求f(x)的n阶导数.本例用间接展开法,为此先求f(x)的导数,将其导数展成x的幂级数后再积分即得函数的幂级数的展开式.设函数f(x)的展开式求出为
f(x)=an(x—x0)n
另一方面,函数f(x)的展开式为
f(x)=(x—x0)n
比较它们的同次幂系数,由展开式的唯一性,有
=an,    即  f(n)(x0)=an.n!(n=0,1,2,…).
这是求函数在一点处的高阶导数值的有效方法.
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