2. 考研
  3. (99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证 (1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

(99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证 (1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η． (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1

admin2017-05-26  36
问题 (99年)设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1．试证
    (1)存在η∈(，1)，使f(η)＝η．
    (2)对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1
选项
答案(1)令φ(χ)＝f(χ)－χ，则φ(χ)在[0，1]上连续．又φ(1)＝－1＜0，[*]＞0，由介值定理可知，存在η∈([*]，1)，使得φ(η)＝f(η)－η＝0 即f(η)＝η (2)要证f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1，即要证 [f′(ξ)－1]－λ[f(ξ)－ξ]＝0 也就是要证φ′(ξ)－λφ(ξ)＝0，因此构造辅助函数 F(χ)＝e-λχφ(χ)＝e－λχ[f(χ)－χ] 则F(χ)在[0，η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0，η)．使得F′(ξ)＝0． 即e－λξ[φ′(ξ)－λφ(ξ)]＝0 而e－λξ≠0，从而有φ′(ξ)－λφ(ξ)＝0 即f′(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]＝1
解析
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考研数学三

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