2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0且f’＋(a)f’－1(b)＞0， 证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＋2f(ξ)＝3f’(ξ)．

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0且f’＋(a)f’－1(b)＞0， 证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＋2f(ξ)＝3f’(ξ)．

admin2021-03-10  29
问题 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0且f’＋(a)f’－1(b)＞0，
证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＋2f(ξ)＝3f’(ξ)．
选项
答案不妨设f’＋(a)＞0，f’－(b)＞0， 因为f’＋(a)＞0，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0； 因为f’－(b)＞0，所以存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0， 因为f(x1)f(x2)＜0，所以存在c∈(x1，x2)[*](a，b)，使得f(c)＝0， 令h(x)＝e－xf(x)，显然h(a)＝h(c)＝h(b)＝0， 由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ2)＝0， 而h’(x)＝e－x［f’(x)－f(x)]且e－x≠0，故f’(ξ1)－f(ξ1)＝0，f’(ξ2)－f(ξ2)＝0； 令[*](x)＝e－2x[f’(x)－f(x)]，显然[*](ξ1)＝[*](ξ2)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得[*](ξ)＝0， 而[*](x)＝e－2x［f"(x)－3f’(x)＋2f(x)]且e－2x≠0， 故f"(ξ)－3f’(ξ)＋2f(ξ)＝0，即f"(ξ)＋2f(ξ)＝3f’(ξ)．
解析
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考研数学二

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