已知矩阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1= 2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.

admin2021-01-19  61

问题 已知矩阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1= 2α2一α3.如果β=α1234,求线性方程组Ax=β的通解.

选项

答案令[*],则由Ax=[α1,α2,α3,α4][*] 得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α41234 将α1=2α2一α3代入上式,整理后得 (2x1+x2一3)α2+(一x1+x33+(x4一1)α4=0 由α2,α3,α4线性无关,得 [*] 解此方程组,得 [*] 其中k为任意常数. 由α2,α3,α4线性无关和α1=2α2一α3+0α4,知矩阵A的秩为3,[*]齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4一3=1.于是由 α1一 2α23+0α4=0 即[α1,α2,α3,α4][*] 知[1,一2,1,0]T为齐次线性方程组Ax=0的一个解,所以其通解为 [*] k为任意常数. 再由 β= α1234=[α1,α2,α3,α4][*] 知[1,1,1,1]T为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解.于是Ax=β的通解为x=[1,1,1,1]T+k[1,一2,1,0]T,其中k为任意常数.

解析
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