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设矩阵已知A的特征值之和为4,且某个特征值为2. 求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
设矩阵已知A的特征值之和为4,且某个特征值为2. 求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
admin
2017-07-11
23
问题
设矩阵
已知A的特征值之和为4,且某个特征值为2.
求可逆矩阵P,使(AP)
T
(AP)为对角矩阵.
选项
答案
因A是实对称矩阵,故(AP)
T
AP=P
T
A
2
P,其中 [*] 求可逆矩阵P,使(AP)
T
AP为对角矩阵,即相当于对A
2
作合同变换,使之对角化.可求出A
2
的特征值、特征向量,再把A
2
的特征向量正交单位化后,以其为列组成的矩阵即为所求.但这样做比较繁琐,故考虑借助二次型求解. 考虑二次型 x
T
A
2
x=4x
1
2
+4x
2
2
+5x
3
2
+5x
4
2
+8x
3
x
4
,用配方法将它化为标准形,得[*] 令 [*] 则由线性变换 [*]
解析
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考研数学三
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