2. 专升本
  3. 设函数f(x)满足微分方程xf’(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中a为正常数)，且f(1)=1，由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1，y=0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为． (1)求函数f(x)的表达式； (2)求平面图形

设函数f(x)满足微分方程xf’(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中a为正常数)，且f(1)=1，由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1，y=0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为． (1)求函数f(x)的表达式； (2)求平面图形

admin2012-01-13  53
问题 设函数f(x)满足微分方程xf’(x)-2f(x)=-(a+1)x(其中a为正常数)，且f(1)=1，由曲线y=f(x)(x≤1)与直线x=1，y=0所围成的平面图形记为D。已知D的面积为．
    (1)求函数f(x)的表达式；
    (2)求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx;
    (3)求平面图形D绕Y轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vy．
选项
答案(1)f(x)=-ax2+(a+1)x [*]
解析 (1)根据题意得f’(x)-f(x)=-(a+1)所以
已知f(1)=1，则cx2+(a+1)x／x=1=1，则c=-a，即有f(x)=-ax2+(a+1)x，令  -ax2+(a+1)x=0得x=0，x=1+，则有S=∫01[-ax2+(a+1)x]dx=解上式得a=1，易知曲线与横轴交点为x=2，则f(x)=-x2+2x．
(2)根据上述计算，因为f(x)=-x2+x，所以

(3)同理，因为f(x)=-x2+2x，所以x=则式中的f(x)即为y，所以
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