设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f(a+b/2)+(b-a)3/24f"(ξ).

admin2021-10-18  42

问题 设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f(a+b/2)+(b-a)3/24f"(ξ).

选项

答案令F(x)=∫axf(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x0=(a+b)/2,由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+F"(x0)/2!(a-x0)2+F’"(ξ1)/3!(a-x0)3,ξ1∈(a,x0),F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+F"(x0)/2!(b-x0)2+F’"(ξ1)/3!(b-x0)3,ξ2∈(x0,b),两式相减得F(b)-F(a)=F’(x0)(b-a)+(b-a)3/48[F’"(ξ1)+F’"(ξ2)],即∫abf(x)dx=(b-a)f[(a+b)/2]+(b-a)3/48[f"(ξ1)+f"(ξ2)],因为f"(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ1,ξ2]∈(a,b),使得f"(ξ)=1/2[f"(ξ1)+f"(ξ2)],从而∫abf(x)dx=(b-a)f[(a+b)/2]+(b-a)3/24f"(ξ).

解析
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