2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明： 若AB=BA，则B相似于对角矩阵；

设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明： 若AB=BA，则B相似于对角矩阵；

admin2018-08-22  30
问题 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明：
若AB=BA，则B相似于对角矩阵；
选项
答案设λ1，λ2，…，λn为A的n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关特征向量p1，p2，…，pn，记可逆矩阵P=[p1，p2，…，pn]，有 [*] 由AB=BA得P-1ABP=P-1BAP，于是P-1A．EBP=P-1BEAP． 令E=PP-1，有 (P-1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)， 即 A1(P-1BP)=(P-1BP)A1． 下面证明P-1P是对角矩阵． 设P-1BP=(cij)n×n，则 [*] 比较两边对应元素得 λicij=λjcij[*](λi—λj)cij=0． 当i≠j时，λi≠λj，则cij=0，则 [*] 故B相似于对角阵．
解析
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考研数学二

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