设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

admin2019-05-11  54

问题 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

选项

答案构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x),由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x),g(x)在(a,b) 内具有相等的最大值,不妨设存在x1≤x2,x1,x2∈(a,b)使得f(x1)=M=[*]。 若x1=x2,令c=x1,则F(c)=0。 若x1<x2,因F(x1)=f(x1)一g(x1)≥0,F(x2)=f(x2)一g(x2)≤0,由介值定理知,存在c∈[x1,x2][*](a,b),使F(c)=0。 在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得 F1)=F2)=0。 再对F(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),有F’’(ξ)=0,即 f’’(ξ)=g’’(ξ)。

解析
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