(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

admin2019-04-17 45

问题 (1998年试题，五)利用代换

y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解

选项

答案题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由[*]求得y^’，y^’’与u^’，u^’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y^’=u^’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y^’’=u^’’secx+2u^’se^’cx.tanx+usecx.tan²x+usec³x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u^’’+4u=e^x，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=一2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x，设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u^’’+4u=e^x，得[*]因此[*]，因此非齐次方程通解为[*]其中C₁，C₂为任意常数．由代换[*]原方程通解为[*]

解析本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u^’=y^’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u^’’=y^’’cosx一2y^’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u^’’+4u=e^x

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考研数学二

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(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

考研数学二

已知曲线L的方程406过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；

设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．

设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x－t|一f(t)dt当x取何值时，F(x)取最小值；

设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．

证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

求下列极限：

设矩阵A＝可逆，α＝为A对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A的特征值；(2)判断A可否对角化．

设f(x)在[a，b]连续，且∈[a，b]，总∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．

防毒工作可以采取隔离的方法，也可以采取敞开通风的方法。()

口舌生疮，心胸烦热，口渴面赤，或小溲赤涩刺痛。当首选

对血栓闭塞性脉管炎病人的一般处理错误的是

患者，女，28岁。中切牙缺失，余留牙正常，咬合关系良好，要求烤瓷桥修复。经基牙预备后比色。下列哪个时间段内比色较好

关于物权保护的说法，正确的是()

下列不属于会计岗位的是()。

CPU输出数据的速度远远高于打印机的打印速度，为解决这一矛盾，可采用的技术是()。

爱德华个人偏好量表的设计采用了()

计算二重积分，其中D是由曲线和直线y＝－x围成的区域．

TheValueofWritingWell[A]It’sthattimeofyearagain.No,not"theholidayseason".Imean,itisholidaytime,butforpr

(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

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已知曲线L的方程406过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；

设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．

设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x－t|一f(t)dt当x取何值时，F(x)取最小值；

设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．

证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

求下列极限：

设矩阵A＝可逆，α＝为A*对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A*的特征值；(2)判断A可否对角化．

设f(x)在[a，b]连续，且∈[a，b]，总∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．

防毒工作可以采取隔离的方法，也可以采取敞开通风的方法。()

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患者，女，28岁。中切牙缺失，余留牙正常，咬合关系良好，要求烤瓷桥修复。经基牙预备后比色。下列哪个时间段内比色较好

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下列不属于会计岗位的是()。

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爱德华个人偏好量表的设计采用了()

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设矩阵A＝可逆，α＝为A对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A的特征值；(2)判断A可否对角化．