设A为3阶实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Aχ=0的基础解系,且矩阵A-6E不可逆.则 (Ⅰ)求齐次线性方程组(A-6E)χ=0的通解: (Ⅱ)求正交变换χ=Qy将二次型χTAχ化为标准形;

admin2017-11-30  40

问题 设A为3阶实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Aχ=0的基础解系,且矩阵A-6E不可逆.则
    (Ⅰ)求齐次线性方程组(A-6E)χ=0的通解:
    (Ⅱ)求正交变换χ=Qy将二次型χTAχ化为标准形;
    (Ⅲ)求(A-3E)100

选项

答案(Ⅰ)因为矩阵A-6E不可逆,所以λ=6是矩阵A的一个特征值;另一方面,因为α1,α2是齐次线性方程组Aχ=0的基础解系,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,所以A的特征值为0,0,6。 齐次线性方程组(A-6E)χ=0的通解是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵,从而属于不同特征值的特征向量正交。 设α3=(χ1,χ2,χ3)T是矩阵A的属于特征值λ=6的一个特征向量,则 (α1,α3)=0,(α2,α3)=0, 解得α3=(-1,-2,1)T,所以齐次线性方程组(A-6E)χ=0的通解为kα3,k为任意常数。 (Ⅱ)下面将向量组α1,α2,α3正交化。令 β1=α1,β2=α2-[*]β1=(-1,0,-1)T,β3=α3 下面将向量组β1,β2,β3,单位化。令 [*] 则二次型χTAχ在正交变换χ=Qy下的标准型为6y32。 [*]

解析
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