若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f’’(x)-f(x)=x，则∫π-πf(x)cosxdx=( )．

admin2017-10-25 43

问题若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f’’(x)-f(x)=x，则∫^π_-πf(x)cosxdx=( )．

选项 A、f’(π)-f’(-π)
B、

C、f(π)-f(-π)
D、

答案B

解析利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可．
∫_-π^πf(x)cosxdx=∫_-π^πf(x)dsinx=f(x)sinx｜_-π^π -∫_-π^πf’(x)sinxdx
=∫_-π^πf’(x)dcosx=f’(x)cosx｜_-π^π-∫_-π^πf’’(x)cosxdx
=f’(-π)-f’(π)-∫_-π^πf’’(x)cosxdx
=f’(-π)-f’(π)-∫_-π^π[f(x)+x]cosxdx
=f’(-π)-f’(π)∫_-π^πf(x)cosxdx-∫_-π^πxcosdx
=f(-π)-f’(π)-∫_-π^πf(x)cosxdx-0
=f’(-π)-f’(π)-∫_-π^πf(x)cos xdx，
移项，得∫_-π^πf(x)cosxdx=

故应选(B)．

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