设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф(x)=φ(x),Ф(0)=0. 方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由.

admin2015-07-22  57

问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф(x)=φ(x),Ф(0)=0.
方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由.

选项

答案因为Ф’(x)=φ(x),所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1.又 Ф(0)=0,于是, Ф(x)=∫0xφ(t)dt.而 Ф(x+2π)=∫0x+2π φ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫0x+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫0φ(t)dt,所以,当 ∫0φ(t)dt=0时,Ф(x+2π)=Ф(x),即Ф(x)以2π为周期.因此,当∫0φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.

解析
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