2. 考研
  3. 设A是4阶矩阵，λi(i＝1，2，3，4)是矩阵A的4个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，α4，令β＝α1＋α2＋α3＋α4。 (Ⅰ)证明β，Aβ，A2β，A3β线性无关； (Ⅱ)如果A4β＝Aβ，求A－E的秩。

设A是4阶矩阵，λi(i＝1，2，3，4)是矩阵A的4个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，α4，令β＝α1＋α2＋α3＋α4。 (Ⅰ)证明β，Aβ，A2β，A3β线性无关； (Ⅱ)如果A4β＝Aβ，求A－E的秩。

admin2019-01-25  23
问题 设A是4阶矩阵，λi(i＝1，2，3，4)是矩阵A的4个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，α4，令β＝α1＋α2＋α3＋α4。
    (Ⅰ)证明β，Aβ，A2β，A3β线性无关；
    (Ⅱ)如果A4β＝Aβ，求A－E的秩。
选项
答案(Ⅰ)设 k1β＋k2Aβ＋k3Aβ＋k4A3β＝0， 由题意可知Aαi＝λiα(i＝1，2，3，4)，则有下列式子成立 Aβ＝Aα1＋Aα2＋Aα3＋Aα4＝λ1α1＋λ2α＋λ3α3＋λ4α4， A2β＝A2α1＋A2α2＋A2α3＋A2α4＝λ21α1＋λ22α2＋λ23α3＋λ2α4， A3β＝A3α1＋A3α2＋A3α3＋A3α4＝λ31α1＋λ32α2＋λ33α3＋λ34α4。 将上述三个式子代入k1β＋k2Aβ＋k3A2β＋k4A3β＝0可得 (k1＋k2λ1＋k3λ21＋k4λ31)α1＋(k1＋k2λ2＋k3λ22＋k4λ32)α2＋(k1＋k2λ3＋k3λ23＋k4λ33)α3＋(k1＋k2λ4＋k3λ24＋k4λ34)α4＝0， 由于α1，α2，α3，α4是对应于不同特征值的特征向量，因此线性无关，从而有 [*] 系数行列式为范德蒙德行列式 [*] 因此必有k1＝k2＝k3＝k4＝0，根据线性无关的定义可知，β，Aβ，A2β，A3β线性无关。 (Ⅱ)已知A4β＝Aβ，因此有 A(β，Aβ，A2β，A3β)＝(Aβ，A2β，A3β，A4β)＝(Aβ，A2β，A3β，Aβ) [*] 令P＝(β，β，A2β，A3β)，由β，Aβ，A2β，A3β线性无关可知矩阵P可逆。上式最后的矩阵设为B，则有 [*]
解析 本题考查向量组线性无关的证明及利用相似矩阵求秩。第一问通过已知列出向量组的线性组合表达式，证明系数全部为零即可，其中对任意不为0的数m，λm是矩阵Am的特征值。第二问找出一个与矩阵A相似的矩阵B，相似矩阵有相同的特征值和特征向量，因此A－E的秩等于B－E的秩。
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考研数学三

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