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  3. (2003年)若矩阵A＝相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．

(2003年)若矩阵A＝相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．

admin2016-05-30  56
问题 (2003年)若矩阵A＝相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．
选项
答案由A的特征多项式 ｜λ－A｜＝[*] ＝(λ－6)(λ2－4λ－12)＝(λ－6)2(λ＋2) 得A的特征值为λ*＝λ2＝6，λ3＝－2． 因为A只有一个重特征值6(二重)，所以， A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E－A)χ＝0的基础解系含2个向量 [*]3－秩(6E－A)＝2 [*]秩(6E－A)＝1 从而由 [*] 知a＝0，且由此可得对应于λ1＝λ2＝6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ3＝－2，由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ＝(1，－2，0)T． 于是ξ1，ξ2，ξ3就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵 [*] 则P可逆，且使P-1AP＝[*]为对角矩阵．
解析
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考研数学二

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