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设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是( )
设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是( )
admin
2021-01-19
73
问题
设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令u
n
=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是( )
选项
A、若u
1
＞u
2
，则{u
n
}必收敛。
B、若u
1
＞u
2
，则{u
n
}必发散。
C、若u
1
＜u
2
，则{u
n
}必收敛。
D、若u
1
＜u
2
，则{u
n
}必发散。
答案
D
解析
选项A：设f(x)=－lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u
1
＞u
2
，但{u
n
}={－lnn)发散，排除A；
选项B：设f(x)=1／x，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u
1
＞u
2
，但{u
n
}={1／n}收敛，排除B；
选项C：设f(x)=x
2
，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，u
1
＜u
2
，但{u
n
}={n
2
}发散，排除C；
选项D：由拉格朗日中值定理，有
u
n+1
－u
n
=f(n+1)－f(n)=f’(ξ
n
)(n+1－n)=f’(ξ
n
)，
其中ξ
n
∈(n，n+1)(n=1，2，…)。由f"(x)＞0知，f’(x)单调增加，故
f’(ξ
1
)＜f’(ξ[2])＜…＜f’(ξ
n
)＜…，
所以u
n+1
=u
1
+
(u
k+1
－u
k
)=u
1
+
f’(ξ
k
)＞u
1
+nf’(ξ
1
)=u
1
+n(u
2
－u
1
)，
于是当u
2
－u
1
＞0时，推得
u
n+1
=+∞，故选D。
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考研数学二
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