(2006年试题,23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.

admin2021-01-19  69

问题 (2006年试题,23)设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解.(I)求A的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.

选项

答案(I)依题意,因为[*]所以矩阵A的特征量是3,α=(1,1,1)T是A属于3的特征向量.又因为Aα1=0=0α1,Aα2=0=0α2,所以α1,α2是矩阵A属于λ=0的特征向量.所以矩阵A的特征值是3,0,0,且λ=0的特征向量为k1(一1,2,一1)T+k2(0,一1,1)T(k1,k2是不全为0的常数),λ=3的特征向量为k(1,1,1)T(k≠0为常数). (Ⅱ)因为α1,α2不正交,故要做Schmidt正交化:β11=(一1,2,一1)T,[*]单位化:[*]令[*]则[*]

解析 本题考查了抽象矩阵的特征值与特征向量,正交矩阵和对角矩阵,要会求特征值与特征向量,会利用正交矩阵和对角矩阵的定义证明相关问题.
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