选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度:(Ⅰ)D={x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式;(Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0}.

admin2020-03-05  24

问题 选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度:(Ⅰ)D={x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式;(Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0}.

选项

答案记A=P(x,y)i+Q(x,y)j,先由(P,Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件[*]定出参数λ. [*]=2x(x4+y2)λ+λ4xy2(x4+y2)λ—1,[*]=—2x(x4+y2)λ一λ4x5(x2+y2)λ—1 [*]4x(x4+y2)λ+4λx(x4+y2)λ=0([*]x>0)→λ=一1. (Ⅰ)由于D={(x,y)|y>0}是单连通,λ=一1是存在u(x,y)使du=Pdx+Qdy的充要条件,因此仅当λ=一1时存在u(x,y)使(P,Q)为u的梯度. 现求u(x,y),使得du(x,y)=[*]. 凑微分法. [*] (Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0|是非单连通区域,[*]((x,y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数.我们再取环绕(0,0)的闭曲线C:x4+y2=1,逆时针方向,求出 ∫CPdx+Qdy=∫C[*](一2x一2x)dxdy=0, 其中D0是C围成的区域,它关于y轴对称.于是∫LPdx+Qdy在D与路径无关,即Pdx+Qdy在D存在原函数.因此,仅当λ=一1时A(x,y)=(P,Q)在D为某二元函数u(x,y)的梯度.

解析
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