设A为n阶矩阵，证明：,其中n≥2.

admin2019-09-29 23

问题设A为n阶矩阵，证明：

,其中n≥2.

选项

答案AA^*=A^*A=∣A∣E. 当r(A)=n时，∣A∣≠0，因为∣A^*∣=∣A∣^n-1所以∣A^*∣≠0，从而r(A^*)=n；当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个M_ij≠0,进而A_ij≠0,于是A^*≠O,故r(A^*)≥1,又因为∣A∣=0，所以AA^*=∣A∣E=O,根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A^*)≤n,而r(A)=n-1，于是得r(A^*)≤1，故r(A^*)=1；当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A^*=O，故r(A^*)=0.

解析

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