2. 考研
  3. 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

admin2018-04-14  49
问题 设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。
选项
答案由题设及曲率公式，有 [*] (因曲线y=y(x)向上凸，y"＜0，|y"|=－y")，化简得 [*] 解得 arctany’=－x+C1。 由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=1+x，可知y(0)=1，y’(0)=1。 以x=0代入上式，得C1=π／4。于是有arctany’=－x+[*]，故有 [*] (上式中注明区间是－π／4＜x＜3π／4的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多，一般可以写成[*]+2nπ，本题选择－π／4＜x＜3π／4是因为题设曲线在x=0处有值，又已知曲线是一条连续曲线，因此解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间) 再积分得 [*] 又由题设可知y(0)=1，代入确定C2=1－lncos[*]ln2，于是所求的曲线方程为 [*] 由于cos([*]－x)≤1，且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当cos([*]－x)=1时，即x=π／4时y取得最大值，由于π／4∈(－π／4，3π／4)，所以此时也是y取极大值，极大值为y=1+[*]ln2；显然y在－π／4＜x＜3π／4没有极小值。
解析
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考研数学二

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