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设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且.若P=(a1,a2,a3),Q= (a1+a2,a2,a3),则Q-1AQ=【 】
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且.若P=(a1,a2,a3),Q= (a1+a2,a2,a3),则Q-1AQ=【 】
admin
2019-03-11
36
问题
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且
.若P=(a
1
,a
2
,a
3
),Q= (a
1
+a
2
,a
2
,a
3
),则Q
-1
AQ=【 】
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
解1
其中,矩阵
,易求出
于是,Q
-1
AQ=(PM)
-1
A(PM)=M
-1
(P
-1
AP)M
因此选(B).
解2 已知A(a
1
,a
2
,a
3
)=(a
1
,a
2
,a
3
)
<=>(Aa
1
,Aa
2
,Aa
3
)=(a
1
,a
2
,2a
3
)<=>Aa
1
=a
1
,Aa
2
=a
2
,Aa
3
=2a
3
=>A(a
1
+a
2
)=Aa
1
+Aa
2
=a
1
+a
2
=>AQ=A(a
1
+a
2
,a
2
,a
3
)=(A(a
1
+a
2
),Aa
2
,Aa
3
)=(a
1
+a
2
,a
2
,2a
3
)=(a
1
+a
2
,a
2
,a
3
)两端左乘Q
-1
,得Q
-1
,故选(B).
解3 由已知A相似于对角矩阵diag(1,1,2),知a
1
,a
2
,a
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2.a
1
+a
2
≠0(否则a
1
,a
2
线性相关,与a
1
,a
2
,a
3
线性无关矛盾),且A(a
1
+a
2
)一Aa
1
+Aa
2
=a
1
+a
2
,因此a
1
+a
2
是A的属于特征值1的一个特征向量.
从而知a
1
+a
2
,a
2
,a
3
是A的3个线性无关特征向量,且依次属于特征值1,1,2,因此利用矩阵相似对角化可写出 (a
1
+a
2
,a
2
,a
3
)
-1
A(a
1
+a
2
,a
2
,a
3
)=diag(1,1,2),即Q
-1
AQ=diag(1,1,2).因此选(B).
本题主要考查矩阵乘法、特则是矩阵乘法的按列表示的应用.解1中矩阵M是一个第3类初等矩阵,求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式.
本题中,矩阵Q的可逆性可以根据Q的3个列向量线性无关而知道,也可以由Q=(a
1
,a
1
, a
1
)
是两个可逆矩阵的乘积而知Q可逆.
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考研数学三
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