2. 考研
  3. (2001年)设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足f(1)=(k＞1)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)。

(2001年)设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足f(1)=(k＞1)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)。

admin2018-04-17  52
问题 (2001年)设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足f(1)=(k＞1)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)。
选项
答案[*] 且F(η)=ηe-ηf(η)，F(1)=e-1f(1)，把f(1)=ηe1-ηf(η)代入，则 F(1)=e-1f(1)=e-1ηe1-ηf(η)=ηe-ηf(η)=F(η)。 那么F(x)在[η，1]上连续，在(η，1)内可导，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(η，1)[*][0，1]，使得 F’(ξ)=e-ξf(ξ)—ξe-ξf(ξ)+ξe-ξf’(ξ)=0， 即 f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)。
解析
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考研数学三

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