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  3. 设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．

设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．

admin2018-11-21  28
问题 设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f"(ξ)｜≥4．
选项
答案把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)， f(x)=f(1)+f’(1)(x一1)+[*]f"(ξ2)(x一1)2 (x＜ξ2＜1)． 在公式中取x=[*]并利用题设可得 [*] 两式相减消去未知的函数值f([*])即得f"(ξ1)一f"(ξ2)=8 → ｜f"(ξ1)｜+｜f"(ξ2)｜≥8． 故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使 ｜f"(ξ)｜≥4．
解析
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考研数学一

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