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  3. 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵为( )

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵为( )

admin2019-01-25  37
问题 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵为(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 本题考查矩阵可相似对角化的条件。实对称矩阵必可相似对角化；n阶矩阵A如果有n个不同的特征值或有n个线性无关的特征向量，则矩阵A必可相似对角化。
A选项的矩阵是实对称矩阵，因此必可相似对角化。
    B选项的矩阵是一个上三角矩阵，主对角线元素即矩阵的特征值，因此该矩阵有3个
不同的特征值，则矩阵必可相似对角化。
  C选项的矩阵设为C，则

得矩阵的特征值为9，0，0，对于二重特征值0，根据r(0E－A)＝r(A)＝1，可得齐次方程组(0E－A)x＝0的基础解系有2个线性无关的特征向量；即属于特征值0的线性无关的特征
向量有2个，从而C选项的矩阵必可相似对角化。
D选项的矩阵是一个上三角矩阵，主对角线元素为其特征值，分别为－1，－1，2，对于特征值－1，由

可知齐次方程组(－E－A)X＝0只有一个解向量，即属于二重特征值一l的特征向量只有1个，因此D选项的矩阵不能相似对角化。
    综上所述，故本题选D。
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考研数学三

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