2. 考研
  3. 微分方程y’’+y=x2的通解为_____．

微分方程y’’+y=x2的通解为_____．

admin2019-05-12  29
问题 微分方程y’’+y=x2的通解为_____．
选项
答案y=C1cosx+C2sinx+x2-2
解析 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．
    首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程为r2+1=0，特征根为r=±i，所以其通解为
Y=C1cosx+C2sinx．
    其次求y’’+y=x2的一个特解．设其一个特解为y*=Ax2+Bx+C，则y*’=2Ax+B，y*’’=2A，将其代入到y’’+y=x2并化简，得
    Ax2+Bx+2A+C=x2，
比较等式两边x同次幂的系数，得
    A=1，  B=0，  2A+C=0，
所以A=1，B=0，C=-2，故y*=x2-2．
    最后写出y’’+y=x2的通解，为
y=Y+y’=C1cosx+C2sinx+x2-2．
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考研数学一

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