2. 考研
  3. (2007年试题，19)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．

(2007年试题，19)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．

admin2013-12-27  49
问题 (2007年试题，19)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．
选项
答案设f(x)，g(x)在(a，b)内某点η∈(a，b)同时取得最大值，则f(η)=g(η)．若两个函数取得最大值的点不同，则可设fC=maxf(x)．g(d)=maxg(x)，故有fC一g>0,f(d)一g(d)<0，由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在η使得f(η)=g(η)．由罗尔定理在区间(a，η)，(η，b)内分别存在一点ξ1，ξ2使得，f’(ξ1)=g’(ξ1)，f’(ξ2)=g’(ξ2)．在区间(ξ1，ξ2)内再用罗尔定理，即存在ξ∈(ξ1，ξ2)c(a，b)，使得f’’(ξ)=g，(ξ)． 解析二利用以下两个已知的结论：(1)设h(x)在(a，b)可导，若h’(x)在(a，b)恒不为零，则h’(x)>0(x∈(a，b))h’(x)<0(x∈(a，b))．(2)设h(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，若h(a)=h(b)=0，h(x)在[a，b]为凸(凹)函数，则h(x)>0(或<0)(x∈(a，b))．同前，由题设[*]x1∈(a，b)，M=[*]f(x)=f(x1)，[*]x2∈(a，b)，M=[*]g(x)=g(x2)．令F(x)=f(x)一g(x)．现用反证法．若结论不对，则F’’(x)>0或F’’(x)<0(x∈(a，b))．(1)若F’’(x)>0(x∈(a，b)→F(x)在[a，b]为凹函数，又F(a)=F(b)=0→(x)<0(x∈(a，b))，但F(x。)=f(x)一g(x。)≥0，矛盾．(2)若F’’(x)<0(x∈(a，6)→F(x)在[a，b]为凸函数，又F(a)=F(b)→0→F(x)>0(x∈(a，b))但F(x2)=f(x2)一g(x2)≥0，矛盾．
解析
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