(1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)设A,B为n阶方阵,|B|≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分

admin2019-01-05  48

问题 (1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关;
    (2)设A,B为n阶方阵,|B|≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是方程组(A—λiB)x=0的非零解,i=1,2,…,n.证明α1,α2,…,αn线性无关.

选项

答案(1)用数学归纳法. ①由特征向量α1≠0,故α1线性无关; ②假设前k一1个向量α1,α2,…,αk-1线性无关,以下证明α1,α2,…,αk线性无关.k个互异特征值λ1,λ2,…,λk对应着特征向量α1,α2,…,αk.现设存在一组数l1,l2,…,lk,使得 l1α1+l2α2+…+lkαk=0, (*) 在(*)式两端左边乘A,有l11+l22+…+lkk=0,即 l1λ1α1+l2λ2α2+…+lkλkαk=0. (**) 又在(*)式两端左边乘λk,有l1λ1α1+l2λ2α2+…+lkλkαk=0. (***) 用(**)式减去(***)式,得 l11—λk1+l22一λk2+…+lk-1k-1一λkk-1=0. 由归纳假设α1,α2,…,αk-1线性无关,故 l11一λk)=l22一λk)=…=lk-1k-1一λk)=0, 又λi—λk≠0(i=1,2,…,k一1),故l1=l2=…=lk-1=0. 代回(*)式,于是lkαk=0,由αk≠0,有lk=0,于是α1,α2,…,αk线性无关. 即A的n个互异特征值对应的特征向量α1,α2,…,αn线性无关. (2)由|B|≠0,在|A一λB|=0两端左边乘|B-1|,有 |B-1A一λE|=0,即|λE一B-1A|=0, 于是λ1,λ2,…,λn是矩阵B-1A的n个互异特征值. 又由(A-λiB)x=0,两端左边乘B-1,有 (B-1A—λiE)x=0,即(λiE一B-1A)x=0,故α1,α2,…,αn为B-1A的对应于λ1,λ2,…,λn的特征向量,由(1)知,α1,α2,…,αn线性无关.

解析
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