n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O，证明A能相似对角化．

admin2019-08-12 44

问题 n阶矩阵A满足A²一2A一3E=O，证明A能相似对角化．

选项

答案由A²一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0，则 r(E+A)+r(3E—A)≤n；由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n． (1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵； (2)当r(3E—A)=n时，为对角矩阵； (3)r(E+A)＜n，r(3E—A)＜n，则|E+A|=0，|3E—A|=0， A的特征值λ₁=一1，λ₂=3． λ₁=一1对应的线性无关的特征向量个数为n一r(一E—A)=n一r(E+A)； λ₂=3对应的线性无关的特征向量个数为n一r(3E—A)．因为n一r(E+A)+n一r(3E—A)=n，所以A可相似对角化．

解析

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考研数学二

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已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。
设A=，已知A有三个线性无关的特征向量且λ=2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
令lnx=t，则[*]，当t≤0时，f(t)=t+C1；当t>0时，f(t)=et+C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1+C2，[*]
A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
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