设随机变量X1与X2是关于χ的一元二次方程χ2+Y1χ+Y2=0的两个根,并且X1与X2相互独立都服从参数为的0-1分布. (Ⅰ)求随机变量Y1与Y2的联合分布; (Ⅱ)求DY1,DY2,cov(Y1,Y2); (Ⅲ)若U=Y1+Y

admin2020-03-05  86

问题 设随机变量X1与X2是关于χ的一元二次方程χ2+Y1χ+Y2=0的两个根,并且X1与X2相互独立都服从参数为的0-1分布.
    (Ⅰ)求随机变量Y1与Y2的联合分布;
    (Ⅱ)求DY1,DY2,cov(Y1,Y2);
    (Ⅲ)若U=Y1+Y2,V=Y1-Y2,求DU,DV,cov(U,V).

选项

答案(Ⅰ)依题意,有Y1=-(X1+X2),Y2=X1X2.显然Y1,Y2都是离散型随机变量,并且其分布分别为 [*] P{Y1=-2,Y2=0}=P{X1+X2=2,X1X2=0}=0. 根据边缘分布与联合分布的关系可以逐一求出pij,列表如下: [*] (Ⅱ)EY1=-1,EY12=[*],DY1=[*]; EY2=[*],DY2=[*];EY1Y2=-2×1×[*]; cov(Y1,Y2)=EY1Y2-EY1EY2=-[*]. (Ⅲ)由于D(Y1±Y2)=DY1±2cov(Y1,Y2)+DY2,所以有 DU=D(Y1+Y2)=[*],DV=[*], cov(U,Y)=cov(Y1+Y2,Y1-Y2)=DY1-DY2=[*].

解析
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