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[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
admin
2021-01-25
35
问题
[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φ
y
’(x，y)≠0，已知(x
0
，y
0
)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
选项
A、若f
x
’(x
0
，y
0
)=0，则f
y
’(x
0
，y
0
)=0
B、若f
x
’(x
0
，y
0
)=0， 则f’
y
(x
0
，y
0
)≠0
C、若f
x
’(x
0
，y
0
)≠0，则f
y
’(x
0
，y
0
)=0
D、若f
x
’(x
0
，y
0
)≠0，则f’
y
(x
0
，y
0
)≠0
答案
D
解析
解一 由拉格朗日乘数法知，若(x
0
，y
0
)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有
f
x
’(x
0
，y
0
)+λφ
x
’(x
0
，y
0
)=0， ①
f
x
’(x
0
，y
0
)+λφ
x
’(x
0
，y
0
)=0． ②
若f
x
’(x
0
，y
0
)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φ
y
’(x
0
，y
0
)≠0，再由式②知f
y
’(x
0
，y
0
)≠0．仅(D)入选．
解二 构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x
0
，y
0
)处的参数的值为λ
0
，则
由式③与式④消去λ
0
得到
f
x
’(x
0
，y
0
)／φ
x
’(
0
，y
0
)=一λ
0
=f’
y
(x
0
，y
0
)／φ’
y
(x
0
，y
0
)．
即 f’
x
(x
0
，y
0
)φ’
y
(x
0
，y
0
)一f
y
’(x
0
，y
0
)φ
x
’(x
0
，y
0
)=0．
整理得
若f
x
’(x
0
，y
0
)≠0，则由式③知，φ
x
’(x
0
，y
0
)≠0．因而f
y
’(x
0
，y
0
)≠0．仅(D)入选．
解三 由题设φ
y
’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．
在φ(x，y)=0两边对x求导，得到
因f(x，y(x))在x=x
0
处取得极值，由其必要条件得到f’
x
+f
y
’y’=f
x
’+f
y
’(一φ
x
’／φ
y
’)=0．因而当f
x
’(x
0
，y
0
)≠0时，必有f
y
’(x
0
，y
0
)≠0．仅(D)入选．
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考研数学三
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