已知α1,α2,…,αs线性无关,β可由α1,α2,…,αs线性表出,且表示式的系数全不为零,证明:α1,aα2,…,αs,β中任意s个向量线性无关.

admin2017-04-11  40

问题 已知α1,α2,…,αs线性无关,β可由α1,α2,…,αs线性表出,且表示式的系数全不为零,证明:α1,aα2,…,αs,β中任意s个向量线性无关.

选项

答案用反证法.设α1,α2,…,αs,β中任意s个向量组α1,α2,…,αi-1,αi+1,…,αs,β线性相关,则存在不全为零的k1,k2,…,ki-1,ki+1,…,ks,k使得 k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0. ① 另一方面,由题设 β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs,其中li≠0,i=1,2,…,s.代入上式,得 (k1+kl11+(k2+kl22+…+(ki-1+kli-1i-1+kliαi+(ki+1+kli+1i+1+…+(ks+klss=0? 因已知α1,α2,…,αs线性无关,从而由kli=0,li≠0,故k=0,从而由①式得k1,k2,…,ki-1,ki+1,…,ks均为0,矛盾. 故α1,α2,…,αs,β中任意s个向量线性无关.

解析
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