给出满足下列条件的微分方程： (Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x； (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 y1=cos2x一xsin2x．

admin2017-10-23 47

问题给出满足下列条件的微分方程：
(Ⅰ)方程有通解y=(C₁+C₂x+x^—1)e^—x；
(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解
y₁=cos2x一

xsin2x．

选项

答案(1)通解变形为e^xy=C₁+C₂x+x^—1，求导得 e²(y’+y)=C₂一x^—2，再求导得方程e^x(y"+2y’+y)=[*]e^—x． (Ⅱ)由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C₁cos2x+C₂Sin2x一[*]xsin2x，从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i，且一[*]xsin2x为其特解．进而知原方程为 y"+4y=f(x)． [*] 因此，所求方程为y"+4y=一cos2x．

解析由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征．从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程．在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程．

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考研数学三

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给出满足下列条件的微分方程： (Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x； (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 y1=cos2x一xsin2x．

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