设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,令β=ξ1﹢ξ2﹢ξ3. 证明:(I)B不是A的特征向量; (Ⅱ)向量组β,Aβ,A2β线性无关.

admin2018-12-21  34

问题 设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,令β=ξ1﹢ξ2﹢ξ3
证明:(I)B不是A的特征向量;
(Ⅱ)向量组β,Aβ,A2β线性无关.

选项

答案(I)已知Aβ=A(ξ1﹢ξ2﹢ξ3)=λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3. 若β是A的特征向量,假设对应的特征值为μ,则有Aβ=μβ=μ(ξ1﹢ξ2﹢ξ3)=λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3, 从而得(μ-λ11﹢(μ-λ22﹢(μ-λ33=0. ξ1,ξ2,ξ3是不同特征值对应的特征向量,由定理知ξ1,ξ2,ξ3线性无关,从而得 λ1=λ2=λ3=μ,这和λ1,λ2,λ3互不相同矛盾.故β=ξ1﹢ξ2﹢ξ3不是A的特征向量. (Ⅱ)法一用线性无关的定义证. 假设存在数k1,k2,k3,使得 k1β﹢k2Aβ﹢k3A2β=0. 将β=ξ1﹢ξ2﹢ξ3及Aξi=λiξi(i=1,2,3)代入上式得k11﹢ξ2﹢ξ3)﹢k21ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3)﹢k312ξ1﹢λ22ξ1﹢λ32ξ3)=0, 整理得(k1﹢k2λ1﹢k3λ121﹢(k1﹢k2λ2﹢k3λ222﹢(k1﹢k2λ3﹢k3λ323=0. 因ξ1,ξ2,ξ3线性无关,则有 [*] 又λi(i=1,2,3)互不相同,故方程组(*)的系数矩阵的行列式[*]=(λ32-λ2)(λ3-λ1)(λ2-λ1)≠0, 故方程组(*)仅有零解,即k1=k2=k3=0,所以β,Aβ,A2β线性无关. 法二 用秩来证.因 (β,Aβ,A2β)=(ξ1﹢ξ2﹢ξ3,λ1ξ1﹢λ2ξ2﹢λ3ξ3,λ12ξ1﹢λ22ξ2﹢λ32ξ3)=(ξ1,ξ2,ξ3)[*](ξ1,ξ2,ξ3)C. 其中|C|=[*]≠0,所以C是可逆矩阵. 故r(β,Aβ,A2β)=r(ξ1,ξ2,ξ3)=3.因此β,Aβ,A2β线性无关.

解析
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