设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.

admin2019-04-08  48

问题 设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.

选项

答案(1)由全微分方程的充要条件[*]知 f’’(x)+2xy=x2+2xy-f(x), 即 f’’(x)+f(x)=x2. ① 此方程的齐次方程f’’(x)+f(x)=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.非齐次方程①的特解形式为y*=ax2+bx+c,代入方程①,得a=1,b=0,c=一2.于是y*=x2一2.方程①的通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2. 由f(0)=0,f’(0)=1,求得C1=2,C2=1,从而得f(x)=2cosx+sinx+x2一2. (2)将f(x)的表达式代入原方程中,得 [xy2一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, ② 其中P(x,y),Q(x,y)分别为上式中dx,dy前面的系数函数.其通解可用积分法求之.为此取特殊路径(折线路径)积分: u(x,y)=∫(0,0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫0xP(x,0)dx+Q(x,0)·0+∫0yP(x,y)·0+Q(x,y)dy =∫0yQ(x,y)dy=∫0y(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy =一2ysinx+ycosx+2xy+x2y2/2, 所以所给全微分方程的通解为一2ysinx+ycosx+x2y2/2+2xy=C.

解析
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