设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1.证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f”(η)+f’(η)=1.

admin2022-09-22  41

问题 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1.证明:
    (I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
    (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f”(η)+f’(η)=1.

选项

答案(I)由于f(x)在[-1,1]上为奇函数,可知f(0)=0. 令F(x)=f(x)-x,可知F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导. 又F’(x)=f’(x)-1,F(1)=f(1)-1=0,F(0)=f(0)-0=0, 由罗尔定理可知,存在ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1. (Ⅱ)利用逆推法求证.考虑到 f”(x)+f’(x)=1[*]ex[f”(x)+f’(x)]=ex[*][exf’(x)]’=ex[*][exf’(x)-ex]’=0. 不妨设g(x)=exf’(x)-ex,则g’(x)=exf’(x)+exf”(x)-ex. 由于f(x)是奇函数,所以f’(x)是偶函数.由(I)的结论知f’(ξ)=f’(-ξ)=1. 因此g(ξ)=g(-ξ)=0.由罗尔定理可知,存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得 g’(η)=0. 从而可得 f”(η)+f’(η)=1.

解析
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