证明：方程xa=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。

admin2021-07-15 31

问题证明：方程x^a=lnx(a＜0)在（0，+∞）内有且仅有一个实根。

选项

答案令f(x)=lnx－x^a(a＜0),则f(x)在（0，+∞）内连续，且f(1)=－1＜0,[*],故对任意M＞0,存在X＞1, 当x＞X时，有f(x)＞M＞0,任取x₀＞X,则f(1)·f(x₀)＜0,根据零点定理，至少存在ξ∈（1，x₀),使得f(ξ)=0,即方程x^a=lnx在（0，+∞）内至少有一实根。又lnx在（0，+∞）内单调增加，因a＜0,－x^a也单调增加，从而f(x)在（0，+∞）内单调增加，因此方程f(x)=0在（0，+∞）内只有一个实根，即方程x^a=lnx在（0，+∞）内只有一个实根。

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在开区间(a，b)内有fˊ(x)＜0且f〞(x)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内[]．
设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．
证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．
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抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．
设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题①(I)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解；③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解．其中
设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3．试确定a，b，c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．

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